Сколькими способами можно сделать такое

Общая постановка этих задач:
Задач 1. Раскладка по ящикам
Даны

$Сколькими способами можно сделать такое$

различных предметов и

$Сколькими способами можно сделать такое$

ящиков. Надо положить в первый ящик

$Сколькими способами можно сделать такое$

предметов, во второй -

$Сколькими способами можно сделать такое$

предметов,..., в

$Сколькими способами можно сделать такое$

-й -

$Сколькими способами можно сделать такое$

предметов, где

$Сколькими способами можно сделать такое$

. Сколькими способами можно сделать такое распределение?
Число различных раскладок по ящикам равно

$Сколькими способами можно сделать такое$

Эту формулу можно получить при решении следующей, на первый взгляд, совсем непохожей задачи:
Задача 2. Перестановки с повторением.
Имеются предметы

$Сколькими способами можно сделать такое$

различных типов. Сколько различных перестановок можно сделать из

$Сколькими способами можно сделать такое$

предметов первого типа,

$Сколькими способами можно сделать такое$

предметов второго типа, ...,

$Сколькими способами можно сделать такое$

предметов

$Сколькими способами можно сделать такое$

-го типа? Число элементов в каждой перестановке равно

$Сколькими способами можно сделать такое$

. Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы

$Сколькими способами можно сделать такое$

. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В самом деле, возьмем, например, перестановку

$Сколькими способами можно сделать такое$

(5.1)

в которой сначала выписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа, ..., наконец, все элементы

$Сколькими способами можно сделать такое$

-го типа. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом

$Сколькими способами можно сделать такое$

способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же ничего не меняют

$Сколькими способами можно сделать такое$

перестановок элементов второго типа, ...,

$Сколькими способами можно сделать такое$

перестановок элементов

$Сколькими способами можно сделать такое$

-го типа.
Перестановки элементов первого типа, второго типа и так далее можно делать независимо друг от друга. Поэтому элементы перестановки 5.1. можно переставлять друг с другом

$Сколькими способами можно сделать такое$

способами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех

$Сколькими способами можно сделать такое$

перестановок распадается на части, состоящие из

$Сколькими способами можно сделать такое$

одинаковых перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно

$Сколькими способами можно сделать такое$

(5.2)

где

$Сколькими способами можно сделать такое$

.
Пользуясь формулой 5.2, можно ответить на вопрос: сколько перестановок можно сделать из букв слова "Миссисипи"? Здесь у нас одна буква "м", четыре буквы "и", три буквы "с" и одна буква "п", а всего 9 букв. Значит, по формуле 5.2 число перестановок равно

$Сколькими способами можно сделать такое$

Чтобы установить связь между этими задачами, занумеруем все

$Сколькими способами можно сделать такое$

мест, которые могут занимать наши предметы.
Каждой перестановке соответствует распределение номеров мест на

$Сколькими способами можно сделать такое$

классов. В первый класс попадают номера тех мест, на которые попали предметы первого типа, во второй - номера мест предметов второго типа и так далее. Тем самым устанавливается соответствие между перестановками с повторениями и раскладкой номеров мест по "ящикам". Понятно, что формулы решения задач оказались одинаковыми.
В рассмотренных задачах мы не учитывали порядок, в котором расположены элементы каждой части. В некоторых задачах этот порядок надо учитывать.
Задача 3. Флаги на мачтах.
Имеется

$Сколькими способами можно сделать такое$

различных сигнальных флагов и

$Сколькими способами можно сделать такое$

мачт, на которые их вывешивают. Значение сигнала зависит от того, в каком порядке развешены флаги. Сколькими способами можно развесить флаги, если все флаги должны быть использованы, но некоторые из мачт могут оказаться пустыми?
Каждый способ развешивания флагов можно осуществить в два этапа. На первом этапе мы переставляем всеми возможными способами данные

$Сколькими способами можно сделать такое$

флагов. Это можно сделать

$Сколькими способами можно сделать такое$

способами. Затем берем один из способов распределения

$Сколькими способами можно сделать такое$

одинаковых флагов по

$Сколькими способами можно сделать такое$

мачтам (число этих способов

$Сколькими способами можно сделать такое$

). Пусть этот способ заключается в том, что на первую мачту надо повесить

$Сколькими способами можно сделать такое$

флагов, на вторую -

$Сколькими способами можно сделать такое$

флагов, ..., на

$Сколькими способами можно сделать такое$

-ю

$Сколькими способами можно сделать такое$

флагов, где

$Сколькими способами можно сделать такое$

. Тогда берем первые

$Сколькими способами можно сделать такое$

флагов данной последовательности и развешиваем в полученном порядке на первой мачте; следующие

$Сколькими способами можно сделать такое$

флагов развешиваем на второй мачте и т.д. Ясно, что используя все перестановки

$Сколькими способами можно сделать такое$

флагов и все способы распределения

$Сколькими способами можно сделать такое$

одинаковых флагов по

$Сколькими способами можно сделать такое$

мачтам, получим все способы решения поставленной задачи. По правилу произведения получаем, что число способов развешивания флагов равно

$Сколькими способами можно сделать такое$

(5.3)

Вообще, если имеется

$Сколькими способами можно сделать такое$

различных вещей, то число способов распределения этих вещей по

$Сколькими способами можно сделать такое$

различным ящикам равно

$Сколькими способами можно сделать такое$

.

Содержание раздела

Главная сайта